如圖，在平面直角座標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．拋物線y＝ax2...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．拋物線y＝ax2+bx過A、C兩點．

（1）直接寫出點A的座標，並求出拋物線的解析式；

（2）動點P從點A出發．沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC於點E．

①過點E作EF⊥AD於點F，交拋物線於點G．當t為何值時，線段EG最長？

②連接EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形？請直接寫出相應的t值．

【回答】

（1）由於四邊形ABCD為矩形，所以A點與D點縱座標相同，A點與B點橫座標相同；

（2）①根據相似三角形的*質求出點E的橫座標表達式即為點G的橫作標表達式．代入二次函數解析式，求出縱標表達式，將線段最值問題轉化為二次函數最值問題解答．

②若構成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，於是可分EQ＝QC，EC＝CQ，EQ＝EC三種情況討論．若有兩種情況時間相同，則三邊長度相同，為等腰三角形．

解：（1）因為點B的橫座標為4，點D的縱座標為8，AD∥x軸，AB∥y軸，所以點A的座標為（4，8）．

將A（4，8）、C（8，0）兩點座標分別代入y＝ax2+bx得，

解得a＝﹣，b＝4．故拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝＝，即＝．

∴PE＝AP＝t．PB＝8﹣t．∴點E的座標為（4+t，8﹣t）．

∴點G的縱座標為：﹣（4+t）2+4（4+t）＝﹣t2+8．∴EG＝﹣t2+8﹣（8﹣t）＝﹣t2+t．

∵﹣＜0，∴當t＝4時，線段EG最長為2．

②共有三個時刻．

（①）當EQ＝QC時，因為Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC＝t，

所以根據兩點間距離公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2＝t2．整理得13t2﹣144t+320＝0，

解得t＝或t＝＝8（此時E、C重合，不能構成三角形，捨去）．

（②）當EC＝CQ時，因為E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC＝t，

所以根據兩點間距離公式，得：（4+t﹣8）2+（8﹣t）2＝t2．

整理得t2﹣80t+320＝0，t＝40﹣16，t＝40+16＞8（此時Q不在矩形的邊上，捨去）．

（③）當EQ＝EC時，因為Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），

所以根據兩點間距離公式，得：（ t﹣4）2+（8﹣2t）2＝（4+t﹣8）2+（8﹣t）2，

解得t＝0（此時Q、C重合，不能構成三角形，捨去）或t＝．

於是t1＝，t2＝，t3＝40﹣16．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題