已知，如圖，在平面直角座標系xOy中，二次函數y=ax2﹣的圖象經過點、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m...

問題詳情：

已知，如圖，在平面直角座標系xOy中，二次函數y=ax2﹣的圖象經過點、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延長AC交x軸於點D．

（1）求這個二次函數的解析式及的m值；

（2）求∠ADO的餘切值；

（3）過點B的直線分別與y軸的正半軸、x軸、線段AD交於點P（點A的上方）、M、Q，使以點P、A、Q為頂點的三角形與△MDQ相似，求此時點P的座標．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）把點A、B的座標代入函數解析式求得係數a、c的值，從而得到函數解析式，然後把點C的座標代入來求m的值；

（2）由點A、C的座標求得直線AC的解析式，然後根據直線與座標軸的交點的求法得到點D的座標，所以結合鋭角三角函數的定義解答即可；

（3）根據相似三角形的對應角相等進行解答．

【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得

，

解得，

故該二次函數解析式為：y=x2﹣x+8．

把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．

綜上所述，該二次函數解析式為y=x2﹣x+8，m的值是5；

（2）由（1）知，點C的座標為：（9，5），

又由點A的座標為（0，8），

所以直線AC的解析式為：y=﹣x+8，

令y=0，則0=﹣x+8，

解得x=24，

即OD=24，

所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；

（3）在△APQ與△MDQ中，∠AQP=∠MQD．

要使△APQ與△MDQ相似，則∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根據題意，這種情況不可能），

∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．

作BH⊥y軸於點H，

在直角△PBH中，cot∠P==3，

∴PH=18，OP=20，

∴點P的座標是（0，20）．

【點評】本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定係數法求二次函數、一次函數解析式，相似三角形的判定與*質，鋭角三角函數的定義．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題