在平面直角座標系中，二次函數y=ax2+x+c的圖象經過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣x+...
問題詳情：
在平面直角座標系中，二次函數y=ax2+
x+c的圖象經過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣
x+2與二次函數圖象在第一象限內的交點．
（1）求二次函數的解析式及點E的座標．
（2）如圖①，若點M是二次函數圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的座標．
（3）如圖②，經過A、B、C三點的圓交y軸於點F，求點F的座標．
【回答】
（1）E（3，1）；（2）S最大=
，M座標為（
，3）；（3）F座標為（0，﹣
）．
【解析】
1）把C與D座標代入二次函數解析式求出a與c的值，確定出二次函數解析式，與一次函數解析式聯立求出E座標即可；
（2）過M作MH垂直於x軸，與直線CE交於點H，四邊形COEM面積最大即為三角形CME面積最大，構造出二次函數求出最大值，並求出此時M座標即可；
（3）令y=0，求出x的值，得出A與B座標，由圓周角定理及相似的*質得到三角形AOC與三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的長，即可確定出F座標．
【詳解】
（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數解析式得：
，
解得：
，即二次函數解析式為y=﹣
x2+
x+2，
聯立一次函數解析式得：
，
消去y得：﹣
x+2=﹣
x2+
x+2，
解得：x=0或x=3，
則E（3，1）；
（2）如圖①，過M作MH∥y軸，交CE於點H，
設M（m，﹣
m2+
m+2），則H（m，﹣
m+2），
∴MH=（﹣
m2+
m+2）﹣（﹣
m+2）=﹣
m2+2m，
S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=
×2×3+
MH•3=﹣m2+3m+3，
當m=﹣
=
時，S最大=
，此時M座標為（
，3）；
（3）連接BF，如圖②所示，
當﹣
x2+
x+20=0時，x1=
，x2=
，
∴OA=
，OB=
，
∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴
，即
，
解得：OF=
，
則F座標為（0，﹣
）．
【點睛】
此題屬於二次函數綜合題，涉及的知識有：待定係數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與*質，三角形的面積，二次函數圖象與*質，以及圖形與座標*質，熟練掌握各自的*質是解本題的關鍵．
知識點：二次函數的圖象和*質
題型：解答題
