如圖，在平面直角座標系中，四邊形OABC的頂點座標分別為O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，四邊形OABC的頂點座標分別為O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．動點P從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．設運動的時間為t秒，PQ2＝y．

（1）直接寫出y關於t的函數解析式及t的取值範圍：　   　；

（2）當PQ＝3時，求t的值；

（3）連接OB交PQ於點D，若雙曲線y＝（k≠0）經過點D，問k的值是否變化？若不變化，請求出k的值；若變化，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）過點P作PE⊥BC於點E，如圖1所示．

當運動時間為t秒時（0≤t≤4）時，點P的座標為（3t，0），點Q的座標為（8﹣2t，6），

∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，

∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，

∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．

故*為：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．

（2）當PQ＝3時，25t2﹣80t+100＝（3）2，

整理，得：5t2﹣16t+11＝0，

解得：t1＝1，t2＝．

（3）經過點D的雙曲線y＝（k≠0）的k值不變．

連接OB，交PQ於點D，過點D作DF⊥OA於點F，如圖2所示．

∵OC＝6，BC＝8，

∴OB＝＝10．

∵BQ∥OP，

∴△BDQ∽△ODP，

∴＝＝＝，

∴OD＝6．

∵CB∥OA，

∴∠DOF＝∠OBC．

在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，

∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝6×＝，

∴點D的座標為（，），

∴經過點D的雙曲線y＝（k≠0）的k值為×＝．

【點評】本題考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與*質、平行線的*質以及反比例函數圖象上點的座標特徵，解題的關鍵是：（1）利用勾股定理，找出y關於t的函數解析式；（2）通過解一元二次方程，求出當PQ＝3時t的值；（3）利用相似三角形的*質及解直角三角形，找出點D的座標．

知識點：各地中考

題型：綜合題