如圖,在平面直角座標系中,平行四邊形OABC的頂點A,C的座標分別為(6,0),(4,3),經過B,C兩點的拋...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,平行四邊形OABC的頂點A,C的座標分別為(6,0),(4,3),經過B,C兩點的拋物線與x軸的一個交點D的座標為(1,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若∠AOC的平分線交BC於點E,交拋物線的對稱軸於點F,點P是x軸上一動點,當PE+PF的值最小時,求點P的座標;
(3)在(2)的條件下,過點A作OE的垂線交BC於點H,點M,N分別為拋物線及其對稱軸上的動點,是否存在這樣的點M,N,使得以點M,N,H,E為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點M的座標,若不存在,説明理由.
【回答】
解:(1)∵平行四邊形OABC中,A(6,0),C(4,3)
∴BC=OA=6,BC∥x軸
∴xB=xC+6=10,yB=yC=3,即B(10,3)
設拋物線y=ax2+bx+c經過點B、C、D(1,0)
∴ 解得:
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣
(2)如圖1,作點E關於x軸的對稱點E',連接E'F交x軸於點P
∵C(4,3)
∴OC=
∵BC∥OA
∴∠OEC=∠AOE
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE=∠COE
∴∠OEC=∠COE
∴CE=OC=5
∴xE=xC+5=9,即E(9,3)
∴直線OE解析式為y=x
∵直線OE交拋物線對稱軸於點F,對稱軸為直線:x=﹣7
∴F(7,)
∵點E與點E'關於x軸對稱,點P在x軸上
∴E'(9,﹣3),PE=PE'
∴當點F、P、E'在同一直線上時,PE+PF=PE'+PF=FE'最小
設直線E'F解析式為y=kx+h
∴ 解得:
∴直線E'F:y=﹣x+21
當﹣x+21=0時,解得:x=
∴當PE+PF的值最小時,點P座標為(,0).
(3)存在滿足條件的點M,N,使得以點M,N,H,E為頂點的四邊形為平行四邊形.
設AH與OE相交於點G(t,t),如圖2
∵AH⊥OE於點G,A(6,0)
∴∠AGO=90°
∴AG2+OG2=OA2
∴(6﹣t)2+(t)2+t2+(t)2=62
∴解得:t1=0(捨去),t2=
∴G(,)
設直線AG解析式為y=dx+e
∴ 解得:
∴直線AG:y=﹣3x+18
當y=3時,﹣3x+18=3,解得:x=5
∴H(5,3)
∴HE=9﹣5=4,點H、E關於直線x=7對稱
①當HE為以點M,N,H,E為頂點的平行四邊形的邊時,如圖2
則HE∥MN,MN=HE=4
∵點N在拋物線對稱軸:直線x=7上
∴xM=7+4或7﹣4,即xM=11或3
當x=3時,yM=﹣×9+×9﹣=
∴M(3,)或(11,)
②當HE為以點M,N,H,E為頂點的平行四邊形的對角線時,如圖3
則HE、MN互相平分
∵直線x=7平分HE,點F在直線x=7上
∴點M在直線x=7上,即M為拋物線頂點
∴yM=﹣×49+×7﹣=4
∴M(7,4)
綜上所述,點M座標為(3,)、(11,)或(7,4).
知識點:各地中考
題型:綜合題