在平面直角座標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,且經過點A(0,)(1)若此拋物線經過點B(2...
問題詳情:
在平面直角座標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,且經過點A(0,)
(1)若此拋物線經過點B(2,﹣),且與x軸相交於點E,F.
①填空:b= (用含a的代數式表示);
②當EF2的值最小時,求拋物線的解析式;
(2)若a=,當0<x<1,拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時,求b的值.
【回答】
【考點】HF:二次函數綜合題.
【分析】(1)①由A點座標可求得c,再把B點座標代入可求得b與a的關係式,可求得*;②用a可表示出拋物線解析式,令y=0可得到關於x的一元二次方程,利用根與係數的關係可用a表示出EF的值,再利用函數*質可求得其取得最小值時a的值,可求得拋物線解析式;
(2)可用b表示出拋物線解析式,可求得其對稱軸為x=﹣b,由題意可得出當x=0、x=1或x=﹣b時,拋物線上的點可能離x軸最遠,可分別求得其函數值,得到關於b的方程,可求得b的值.
【解答】解:
(1)①∵拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,且經過點A(0,),
∴c=,
∵拋物線經過點B(2,﹣),
∴﹣=4a+2b+,
∴b=﹣2a﹣1,
故*為:﹣2a﹣1;
②由①可得拋物線解析式為y=ax2﹣(2a+1)x+,
令y=0可得ax2﹣(2a+1)x+=0,
∵△=(2a+1)2﹣4a×=4a2﹣2a+1=4(a﹣)2+>0,
∴方程有兩個不相等的實數根,設為x1、x2,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴EF2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2==(﹣1)2+3,
∴當a=1時,EF2有最小值,即EF有最小值,
∴拋物線解析式為y=x2﹣3x+;
(2)當a=時,拋物線解析式為y=x2+bx+,
∴拋物線對稱軸為x=﹣b,
∴只有當x=0、x=1或x=﹣b時,拋物線上的點才有可能離x軸最遠,
當x=0時,y=,當x=1時,y=+b+=2+b,當x=﹣b時,y=(﹣b)2+b(﹣b)+=﹣b2+,
①當|2+b|=3時,b=1或b=﹣5,且頂點不在0<x<1範圍內,滿足條件;
②當|﹣b2+|=3時,b=±3,對稱軸為直線x=±3,不在0<x<1範圍內,故不符合題意,
綜上可知b的值為1或﹣5.
知識點:各地中考
題型:綜合題