已知拋物線y=ax2＋bx＋c的頂點為(2,5),且與y軸交於點C(0,1).(Ⅰ)求拋物線的表達式;(Ⅱ)若...
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問題詳情：
已知拋物線y=ax2＋bx＋c的頂點為(2,5),且與y軸交於點C(0,1). (Ⅰ)求拋物線的表達式; (Ⅱ)若－1≤x≤3,試求y的取值範圍; (Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋
,y2)是拋物線上的不重合的兩點,試判斷y1與y2的大小,並説明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)∵拋物線y=ax2＋bx＋c的頂點為(2,5), ∴設拋物線的表達式為:y=a(x－2)2＋5, 把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1, a=－1, ∴拋物線的表達式為:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1; (Ⅱ)∵拋物線的頂點為(2,5),a=－1,對稱軸為直線x=2,且－1≤x≤3,
∴當x=－1時,y有最小值,最小值為y=－(－1－2)2＋5=－4,
當x=2時,y有最大值,最大值為y=5, ∴y的取值範圍是－4≤y≤5; (Ⅲ)∵n2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,－n2＋n＋
=－(n－
)2＋2≤2,
∴點M在拋物線對稱軸右側,點N在拋物線對稱軸左側, ∵N(－n2＋n＋
,y2),
∴點N關於對稱軸對稱的點座標為(n2－n＋
,y2),
∵在拋物線對稱軸右側,y隨x的增大而減小,
∴①當n2－4n＋6＞n2－n＋
時,即n＜
時,y1＜y2;
②當n2－4n＋6=n2－n＋
時,即n=
時,y1=y2;
③當n2－4n＋6＜n2－n＋
時,即n＞
時,y1＞y2.
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
