如圖，△MCB的頂點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過點M，C，B，...

問題詳情：

 如圖，△MCB的頂點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過點M，C，B，且點M為拋物線的頂點，點A(－1, 0)是拋物線與x軸負半軸的交點，若線段AB＝6，∠ABC＝45°.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D為線段BM上任意一點(點D不與點B重合)，過點D作垂直於x軸的直線x＝t，交拋物線於點E，交線段BC於點F.

①求當t為何值時，線段DE有最大值？最大值是多少？

②是否存在這樣的點D，使得＝？若存在，求出D點的座標；若不存在，請説明理由．

第13題圖

【回答】

解：(1)∵A(－1，0)，AB＝6，

∴OB＝5，

∴點B的座標為(5，0)，

∵∠ABC＝45°，

∴CO＝BO＝5，

∴點C的座標是(0，5)，

把A、B、C三點座標代入y＝ax2＋bx＋c中，

得，解得，

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋5；

(2)①由拋物線y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9得頂點M(2，9)，

設BM的解析式為y＝kx＋b1(k≠0)，將點B、點M的座標代入可得

，解得，

∴直線BM的解析式為y＝－3x＋15，

∵EF⊥AB，

∴xE＝xD＝t，

∴E(t，－t2＋4t＋5)，D(t，－3t＋15)，

∴ED＝－t2＋4t＋5－(－3t＋15)＝－t2＋7t－10＝－(t－)2＋，

∵－1<0，

∴當t＝時，ED最大＝；

②存在．

理由如下：

設直線BC的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，

將點B、點C的座標代入可得，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝－x＋5，

∴F(t，－t＋5)，

∴ED＝－t2＋7t－10，FD＝－2t＋10，

當＝時，2(－t2＋7t－10)＝－2t＋10，

解得t1＝3，t2＝5(與B點重合，捨去)，

∴D點的座標為(3，6)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題