已知拋物線過點，兩點，與y軸交於點C，．(1)求拋物線的解析式及頂點D的座標；(2)過點A作，垂足為M，求*：...

問題詳情：

已知拋物線過點，兩點，與y軸交於點C，．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的座標；

(2)過點A作，垂足為M，求*：四邊形ADBM為正方形；

(3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當面積最大時，求點P的座標；

(4)若點Q為線段OC上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請説明理由．

【回答】

(1)拋物線的表達式為：，頂點；(2)*見解析；(3)點；(4)存在，的最小值為．

【解析】

(1)設交點式，利用待定係數法進行求解即可；

(2)先*四邊形ADBM為菱形，再根據有一個角是直角的菱形是正方形即可得*；

(3)先求出直線BC的解析式，過點P作y軸的平行線交BC於點N，設點，則點N，根據可得關於x的二次函數，繼而根據二次函數的*質進行求解即可；

(4)存在，如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸於點F，過點A作，垂足為H，交y軸於點Q， 此時，則最小值，求出直線HC、AH的解析式即可求得H點座標，進行求得AH的長即可得*.

【詳解】

(1)函數的表達式為：，

即：，解得：，

故拋物線的表達式為：，

則頂點；

(2)，，

∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，

∴AB=2，

∴，

又∵D(2，-1)，

∴AD=BD=，

∴AM=MB=AD=BD，

∴四邊形ADBM為菱形，

又∵，

菱形ADBM為正方形；

(3)設直線BC的解析式為y=mx+n，

將點B、C的座標代入得：，

解得：，

所以直線BC的表達式為：y=-x+3，

過點P作y軸的平行線交BC於點N，

設點，則點N，

則，

，故有最大值，此時，

故點；

(4)存在，理由：

如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸於點F，過點A作，垂足為H，交y軸於點Q，

此時，

則最小值，

在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，

∴OF=，

∴F(-，0)，

利用待定係數法可求得直線HC的表達式為：…①，

∵∠COF=90°，∠FOC=30°，

∴∠CFO=90°-30°=60°，

∵∠AHF=90°，

∴∠FAH=90°-60°=30°，

∴OQ=AO•tan∠FAQ=，

∴Q(0,)，

利用待定係數法可求得直線AH的表達式為：…②，

聯立①②並解得：，

故點，而點，

則，

即的最小值為．

【點睛】

本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定係數法，解直角三角形的應用，正方形的判定，最值問題等，綜合*較強，有一定的難度，正確把握相關知識，會添加常用輔助線是解題的關鍵.

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題