如圖,在中,為邊上一點,連接,以為鄰邊作與相交於點,且滿足.(1)求*:四邊形為矩形;(2)若,連接,求的長.
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問題詳情:
如圖,在中,為邊上一點,連接,以為鄰邊作與相交於點,且滿足.
(1)求*:四邊形為矩形;
(2)若,連接,求的長.
【回答】
(1)見解析;(2)
【解析】
(1)利用等腰三角形的*質可知∠CAB=∠CBA,再由三角形內角和定理即可*出∠OAE=∠OEA,*得OA=OE,AB=DE,利用對角線相等的平行四邊形是矩形進行判定;
(2)在和中,利用勾股定理求得CD和OB的長,利用等腰三角形三線合一的*質*得∠COB=90,再根據勾股定理即可求得CO的長.
【詳解】
(1)∵四邊形ADBE為平行四邊形,
∴AE∥BD,AB=2OA,DE=2OE,
∴∠ABC=∠OAE,
∵∠C=∠AOE,
∴∠CAB=∠OEA,
∵AB=BC,
∴∠CAB=∠CBA,
∴∠OAE=∠OEA, ∴OA=OE,
∴AB=DE,
∴平行四邊形ADBE是矩形;
(2)∵四邊形ADBE是矩形,
∴∠ADB=∠ADC=90,BD=AE=2,
在中,AD=4,
設CD=,則AC=BC=CD+BD=,
∵,即,
解得:,即CD=,
在中,AD=4,BD=AE=2,
∴,
∴OB=AB=,
∵AC=BC,OA=OB,
∴CO⊥AB,
∴∠COB=90,
在中,BC= CD+BD=3+2=5,BO=,
∴.
【點睛】
本題考查了矩形的判定,平行四邊形的*質,三角形的內角和定理,等腰三角形的*質和判定,勾股定理的綜合運用.利用等腰三角形三線合一的*質*得∠COB=90°是解題的關鍵.
知識點:與三角形有關的角
題型:解答題