如圖，是的直徑，點為的中點，為的弦，且，垂足為，連接交於點，連接，，．(1)求*：；(2)若，求的長．
來源：國語幫 1.92W
問題詳情：
如圖，
是
的直徑，點
為
的中點，
為
的弦，且
，垂足為
，連接
交
於點
，連接
，
，
．
(1)求*：
；
(2)若
，求
的長．
【回答】
(1)*見解析；(2)
.
【分析】
(1)根據點
為
的中點和垂徑定理可*CD=BF，再利用
即可*得結論；
(2)解法一：連接
，設
的半徑為
，由
列出關於
的方程就能求解；
解法二：如圖，作輔助線，構建角平分線和全等三角形，*
，得
，再*
，得
，進而可得
和
的長，易*
，列比例式可求得
的長，也就是
的長；
解法三：連接
，根據垂徑定理和三角形的中位線定理可得
，再*
，然後利用勾股定理即可求出結果．
【詳解】
*：(1)∵
是
的中點，∴
，
∵
是
的直徑，且
，∴
，
∴
，∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
；
(2)解法一：如圖，連接
，設
的半徑為
，
中，
，即
，
中，
，即
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
即
，
解得：
(舍)或3，
∴
，
∴
；
解法二：如圖，過
作
交AD延長線於點
，連接
、
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
是
的直徑，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
解法三：如圖，連接
，交
於
，
∵
是
的中點，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【點睛】
此題考查了相似三角形的判定與*質、圓周角定理、垂徑定理、一元二次方程的求解、三角形全等的*質和判定以及勾股定理等知識．第二問有難度，注意掌握輔助線的作法和數形結合思想的應用．
知識點：解一元二次方程
題型：解答題
