如圖，是的外接圓，直線與相切於點，連接交於點．（1）求*：平分；（2）若的平分線交於點，且，，求的長．
來源：國語幫 1.34W
問題詳情：
如圖，
是
的外接圓，直線
與
相切於點
，連接
交
於點
．
（1）求*：
平分
；
（2）若
的平分線
交
於點
，且
，
，求
的長．
【回答】
（1）見解析；（2）
【解析】
（1）連接OE，利用垂徑定理、圓周角、弧、弦的關係*得結論；
（2）根據題意*BE=EF，得到BE的長，再*△EBD∽△EAB得到
， 求出AE，從而得到AF．
【詳解】
解：（1）連接OE． ∵直線EG與⊙O相切於E， ∴OE⊥EG． ∵EG∥BC， ∴OE⊥BC，
∴
，
∴∠BAE=∠CAE． ∴AE平分∠BAC；
（2）如圖，∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠4，
∵∠1=∠5，
∴∠4=∠5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，即∠6=∠EBF，
∴EB=EF，
∵DE=3，DF=2，
∴BE=EF=DE+DF=5，
∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
∴
，即
，
∴AE=
，
∴AF=AE-EF=
-5=
．
【點睛】
本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓周角、弧、弦的關係，切線的*質，相似三角形的判定和*質，掌握定理並熟練運用是解題必備的能力．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
