如圖，是的直徑，點C，點D在上，，與相交於點E，與相切於點A，與延長線相交於點F．（1）求*：．（2）若，，求...
來源：國語幫 1.07W
問題詳情：
如圖，
是
的直徑，點C，點D在
上，
，
與
相交於點E，
與
相切於點A，與
延長線相交於點F．
（1）求*：
．
（2）若
，
，求
的半徑．
【回答】
（1）見解析；（2）
【解析】
（1）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，根據切線*質得到∠BAF=90°，由
得出∠CAD=∠CDA，結合∠CDA=∠ABC，*∠CAF=∠CAD，從而*△ACF≌△ACE，即可得到結論；
（2）根據EF求出CE，結合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最後根據sin∠ABF=
求出AB即可得到半徑．
【詳解】
解：（1）∵AB為圓O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AF與圓O相切，
∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵
，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵∠CDA=∠CBA，
∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，
∴△ACF≌△ACE（ASA），
∴AE=AF；
（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，
∴sin∠ABF=sin∠CAD=
=
，
∵△ACF≌△ACE，EF=12，
∴CE=CF=6，
∴
=
，解得：AE=10，
∴AC=
=8，
∴sin∠ABF=
=
，
∴AB=
，
∴圓O的半徑為
．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，切線的*質，全等三角形的判定和*質，正弦的定義，知識點較多，有一定難度，解題時要注意多個知識點相結合．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
