如圖所示：與的邊相切於點C，與、分別交於點D、E，．是的直徑．連接，過C作交於G，連接、，與交於點F．（1）求...

問題詳情：

如圖所示：與的邊相切於點C，與、分別交於點D、E，．是的直徑．連接，過C作交於G，連接、，與交於點F．

（1）求*：直線與相切；

（2）求*：；

（3）若時，過A作交於M、N兩點（M在線段上），求的長．

【回答】

(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) 10+．

【解析】

(1)由兩組平行條件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS*△BOE≌△BOC,進而推出AB是圓的切線;

(2)將DG與OE的交點作為H,根據直角的*質得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出,再根據圓周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一組公共角可得△FED∽△DEC,得出,進而推出,即;

(3)先根據題意算出EC,再根據勾股定理得出直徑CD,從而得出半徑,再利用(2)中的比例條件將AC算出來,延長BO到I,連接ON,根據垂徑定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分別求出AI和IN,即可得出AN．

【詳解】(1)∵DE//OB，∴∠BOC=∠EDC，

∵CG//OE，∴∠DEO=∠BOE，

又∵∠DEO=∠EDC，∴∠DEO=∠BOE，

由題意得：EO=CO，BO=BO，

∴△BOE≌△BOC(SAS),

∴∠BEO=∠BCO=90°,

∴AB是⊙O的切線．

(2)

如圖所示DG與OE交點作為H點,

∵EO//GC,

∴∠EHD=∠DGC=90°,

又由(1)所知∠AEO=90°,

∴AE//DF,

∴△AEC∽△DFC,

∴,

由圓周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,

∵DO//GC,

∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD,

∴∠ECD=∠GCE=∠EDF,

又∵∠FED=∠DEC,

∴△FED∽△DEC,

∴,

∴,即．

(3)

∵,與∠ACE相等角的tan值都相同．

∴ED=6,則EC=12,

根據勾股定理可得．

∴EO=DO=CO=．

由(2)可得,

在Rt△AEO中,可得,即,

∴,

解得AE=,則AC=,AO=．

連接ON,延長BO交MN於點I,根據垂徑定理可知OI⊥MN,

∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE．

在Rt△AIO中,可得,即,

解得OI=5,則AI=10,

在Rt△OIN中, ,即,

解得IN=．

∴AN=AI+IN=10+．

【點睛】本題考查圓的綜合知識及相似全等,關鍵在於根據條件結合知識點,特別是輔助線的做法要迎合題目給出的條件．

知識點：相似三角形

題型：綜合題