如圖，在中，為上一點，以為圓心，長為半徑作圓，與相切於點，過點作交的延長線於點,且. （1）求*：為的切線；...
來源：國語幫 1.49W
問題詳情：
如圖，在
中，
為
上一點，以
為圓心，
長為半徑作圓，與
相切於點
，過點
作
交
的延長線於點
,且
.
（1）求*：
為
的切線；
（2）若
，
,求
的長.
【回答】
(1)*見解析；（2）
【解析】
（1）作OE⊥AB於點E，*△OBC≌△OBE，根據全等三角形的對應邊相等可得OE=OC， OE是⊙O的半徑 ，OE⊥AB ，即可判定AB為⊙O的切線；
（2）根據題意先求出AO、BO的長，再*△AOD∽△BOC，根據相似三角形對應邊成比例即可求出AD的長.
【詳解】（1）作OE⊥AB於點E，
∵
切BC於點C，
∴OC⊥BC，∠ACB=90°，
∵ AD⊥BD，∴∠D=90°，
∴∠ABD＋∠BAD =90°，∠CBD＋∠BOC=90°，
∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD，
∴∠BOC=∠BAD，
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC和△OBE中
，
∴△OBC≌△OBE，
∴OE=OC，∴OE是⊙O的半徑 ，
∵OE⊥AB ，∴AB為⊙O的切線；
（2） ∵tan∠ABC=
，BC=6，
∴AC=8，∴AB=
，
∵BE=BC=6，∴AE=4，
∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE=
，∴EO=3，
∴AO=5，OC=3，∴BO=
，
在△AOD和△BOC中
，
∴△AOD∽△BOC，∴
，
即 
，∴AD=
.
【點睛】本題考查了切線的判定與*質，相似三角形的判定與*質等，熟練掌握相關的判定與*質定理是解題的關鍵.
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
