如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD於點D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點,且BC·AE...
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問題詳情:
如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD於點D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四點共圓.
(1)*:CA是△ABC外接圓的直徑;
(2)若DB=BE=EA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.
【回答】
解:(1)*:因為CD為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設知=,故△CDB∽△AEF,
所以∠DBC=∠EFA.
因為B,E,F,C四點共圓,所以∠CFE=∠DBC,
故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.
(2)如圖,連接CE,因為∠CBE=90°,所以過B,E,F,C四點的圓的直徑為CE.由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而DC2=DB·DA=3DB2,故過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.
知識點:幾何*選講
題型:解答題