如圖，AB是△ABC外接圓⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB於E，過C的...
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問題詳情：
如圖，AB是△ABC外接圓⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB於E，過C的直徑交⊙O於點F，連接CD、BF、EF．
（1）求*：CD是⊙O的切線；
（2）求：tan∠BFE的值．
【回答】
【考點】切線的判定；解直角三角形．
【專題】綜合題．
【分析】（1）要*CD是⊙O的切線，只要*OC⊥CD即可；
（2）過點E作EH⊥BF於H，設EH=a，利用角之間的關係可得到AC∥BF，從而得到BH=
EH=a
，BE=2EH=2a，進而可得到BF的長，此時可求得FH的長，再根據正切的公式即可求得tan∠BFE的值．
【解答】（1）*：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴BC=
，
∵OB=
，BD=
，
∴BC=OB=BD，
∴BC=
，
∴OC⊥CD，
∵OC是半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：過點E作EH⊥BF於H，設EH=a，
∵CF是⊙O直徑，
∴∠CBF=90°=∠ACB，
∴∠CBF+∠ACB=180°，
∴AC∥BF，
∴∠ABF=∠A=30°，
∴BH=
EH=a
，BE=2EH=2a，
∵CE⊥AB於E，
∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴BC=2BE=4a，
∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，
∴BF=
=4a，
∴FH=BF﹣BH=4a﹣a
=3a
，
∴tan∠BFE=
=
=
．
【點評】本題考查的是切線的判定，要*某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再*垂直即可．要熟知直角三角形的*質並熟練掌握三角函數值的求法．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
