如圖,D是正△ABC的外接圓⊙O上弧AB上一點,給出下列結論:①∠BDC=∠ADC=60°;②AE•BE=CE...
問題詳情:
如圖,D是正△ABC的外接圓⊙O上弧AB上一點,給出下列結論:①∠BDC=∠ADC=60°;②AE•BE=CE•ED;③CA2=CE•CD;④CD=BD+AD.其中正確的個數是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【回答】
A【考點】相似三角形的判定與*質;等邊三角形的*質;圓周角定理.
【分析】連接AD,根據等邊三角形的*質得到∠BAC=∠ABC=60°,由圓周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°,∠ADC=∠ABC=60°,於是得到∠BDC=∠ADC=60°,故①正確;根據圓周角定理得到∠D=∠A,∠ABD=∠ACD,推出△BDE∽△ACE,根據相似三角形的*質即可得到AE•BE=CE•ED;故②正確;由於∠ADC=∠EAC=60°,∠ACE=∠ACD,得到△ACD∽△ACE,根據相似三角形的*質得到CA2=CE•CD;故③正確;在CD上截取CF=BD,通過△ABD≌△ACF,得到AD=AF,推出△ADF是等邊三角形,得到DF=AD,等量代換即可得到結論.
【解答】解:連接AD,∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠BDC=∠BAC=60°,∠ADC=∠ABC=60°,
∴∠BDC=∠ADC=60°,故①正確;
∵∠D=∠A,∠ABD=∠ACD,
∴△BDE∽△ACE,
∴,
∴AE•BE=CE•ED;故②正確;
∵∠ADC=∠EAC=60°,∠ACE=∠ACD,
∴△ACD∽△ACE,
∴,
∴CA2=CE•CD;故③正確;
在CD上截取CF=BD,
在△ABD與△ACF中,,
∴△ABD≌△ACF,
∴AD=AF,
∵∠ADC=60°,
∴△ADF是等邊三角形,
∴DF=AD,
∵CD=CF+DF,
∴CD=BD+AD.故④正確.
故選A.
【點評】此題考查了圓周角定理,全等三角形的判定和*質,等邊三角形的*質,相似三角形的判定與*質,熟練掌握定理及*質是解本題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:選擇題