如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優弧上一點，且∠D=30°，下列四個結論：①OA⊥BC；...

問題詳情：

如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優弧上一點，且∠D=30°，下列四個結論：

①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．

其中正確結論的序號是（　　）

A．①③ B．①②③④ C．②③④   D．①③④

【回答】

B【考點】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形．

【專題】幾何圖形問題．

【分析】分別根據垂徑定理、菱形的判定定理、鋭角三角函數的定義對各選項進行逐一判斷即可．

【解答】解：∵點A是劣弧的中點，OA過圓心，

∴  OA⊥BC，故①正確；

∵ ∠ D=30°，

∴ ∠ ABC=∠ D=30°，

∴ ∠ AOB=60°，

∵ 點A是劣弧的中點，

∴  BC=2CE，

∵  OA=OB，

∴  OA=OB=AB=6cm，

∴  BE=AB•cos30°=6×=3cm，

∴  BC=2BE=6cm，故②正確；

∵ ∠ AOB=60°，

∴  sin∠AOB=sin60°=，

故③正確；

∵ ∠ AOB=60°，

∴  AB=OB，

∵ 點A是劣弧的中點，

∴  AC=AB，

∴  AB=BO=OC=CA，

∴ 四邊形ABOC是菱形，

故④正確．

故選：B．

【點評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合*較強，是一道好題．

知識點：圓的有關*質

題型：選擇題