已知定點，動點（），線段的中垂線與交於點．（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）當為正三角形時，過點作直線的垂線，交...

問題詳情：

已知定點，動點（），線段的中垂線與交於點．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）當為正三角形時，過點作直線的垂線，交拋物線於，兩點，

求*：點在以線段為直徑的圓內．

【回答】

解法1：（Ⅰ）依題意，，且不在直線上．…………1分

故動點的軌跡為以點為焦點，直線為準線的拋物線．…………2分

故其對應的方程為．…………4分

（Ⅱ）當為正三角形時，不妨設，如右圖

依題意可得：直線的傾斜角，

故直線的斜率：.

則直線的方程為：.…………6分

令，可得點，故點.

因為直線與直線垂直,並且直線的傾斜角為，

所以直線的傾斜角為，

所以直線的方程為：，即.…………8分

聯立方程組，消去，整理可得：

設，由韋達定理可得：，故.…………9分

所以點，又，.

所以，…………11分

所以.

所以為鈍角，故點在以線段為直徑的圓內. …………12分

解法2：（Ⅰ）設動點．…………1分

依題意，中點座標為，，故中垂線的方程為．…………2分

聯立與，可得消去可得點軌跡方程．……4分

（Ⅱ）當為正三角形時，不妨設，如右圖

設，依題意可得： ，

在中，已知，

故.可得點，

又，並且，故點.

因為直線與直線垂直,所以直線與直線平行，

所以直線的方程為：，即.…………8分

聯立方程組，消去，整理可得：

設，由韋達定理可得：，故.…………9分

所以點，又點，

所以以線段為直徑的圓的方程為：.…………10分

因為,

故點在以線段為直徑的圓內，若，由圖象的對稱*可知也成立. …………12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題