已知圓C：與軸交於，(在原點右側)兩點，動點到，兩點的距離之和為定值，且的最小值為−．（Ⅰ）求動點P的軌跡方程...

問題詳情：

已知圓C：與軸交於， (在原點右側)兩點，動點到，兩點的距離之和為定值，且的最小值為−．

（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；

（Ⅱ）過且斜率不為零的直線與點的軌跡交於A，B兩點，若存在點E，使得是與直線的斜率無關的定值，則稱E為“恆點”．問在x軸上是否存在這樣的“恆點”?若存在，請求出該點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解析】(1)由已知，=4與x軸交於 (−2，0)， (2，0)，則|| =4，

由題意知|P|+|P|=2a，cos ∠P=

=−1=−1≥−1=1−=−，若且唯若|P|=|P|=a時等號成立，因而=6，由橢圓的定義知，P的軌跡為橢圓，且，分別為其左、右焦點，=−=2，

所以所求軌跡方程為+=1        …6分  

(2)如圖，設直線的方程為x= my+2，A(，)，B(，)，

由，得(m2+3)y2+4my−2=0，

則+=−，=−．（8分）

假設存在這樣的“恆點”E(t，0)，

則==(−t，)·(−t，)

=(m+2−t，)·(m+2−t，)

=(m2+1) +(2−t)m(+)+(2−t)2

=+(2−t)2

=．

若是與直線的斜率無關的定值，則其為與m無關的定值，

則3−18=3−12t+10，得t=，

此時定值為()2−6=−，“恆點”為(，0)．（12分）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題