已知，為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異於，的動點，且面積的最大值為．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ...

問題詳情：

已知，為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異於，的動點，且面積的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）直線與橢圓在點處的切線交於點，當直線繞點轉動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關係，並加以*．

【回答】

解：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，．

由題意知解得，．

故橢圓的方程為，離心率為．……6分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．    

     *如下：由題意可設直線的方程為.

則點座標為，中點的座標為．

由得．

設點的座標為，則．

所以，．    ……………………………10分

因為點座標為，

當時，點的座標為，點的座標為.

直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．

當時，則直線的斜率.

所以直線的方程為．

點到直線的距離．

又因為 ，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題