在平面直角座標系中，已知橢圓的焦距為2，離心率為，橢圓的右頂點為．（1）求該橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓...
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問題詳情：
在平面直角座標系
中，已知橢圓
的焦距為2，離心率為
，橢圓的右頂點為
．
（1）求該橢圓的方程；
（2）過點
作直線
交橢圓於兩個不同點
，
，求*：直線
，
的斜率之和為定值．
【回答】
（1）
；（2）*見解析.
【分析】
（1）由題意可知，橢圓
的焦點在
軸上，
，
，橢圓的離心率
，則
即可得解；
（2）設
，
，
，分類討論，當斜率不存在時，不合題意，
當斜率存在時，設出直線方程與橢圓方程聯立，根據根與係數關係得到
關係，代入
斜率和公式，即可*結論.
【詳解】
（1）由題意可知，橢圓
的焦點在
軸上，
，
，橢圓的離心率
，
則
，
，
則橢圓的標準方程
；
（2）*：設
，
，
，
當斜率不存在時，
與橢圓只有一個交點，不合題意，
由題意
的方程，
，
則聯立方程
，
整理得，
，
，
由韋達定理可知
，
，
則
，
則由
，
，
∴直線
，
的斜率之和為定值
．
【點睛】
本題考查了利用根據離心率和焦點等基本量求橢圓方程，考查了直線和橢圓的聯立以及利用韋達定理搭橋，聯繫各個量之間的關係，題型是直線和圓錐曲線的定值問題，思路相對明確，但要求交高的計算能力，屬於較難題.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
