圖，在平面直座標系中，已知橢圓，經過點，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線有且只有一個交點。（Ⅰ）求橢圓的方程...
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問題詳情：
圖，在平面直座標系
中，已知橢圓
，經過點
，其中e為橢圓的離心率．且橢圓
與直線
有且只有一個交點。
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設不經過原點的直線
與橢圓
相交與A，B兩點，第一象限內的點
在橢圓上，直線
平分線段
，求：當
的面積取得最大值時直線
的方程。
【回答】
解：（Ⅰ）∵橢圓經過點
，∴
又
，
∴
，∴
∴橢圓的方程為
…………………………………………2分
又∵橢圓
與直線
有且只有一個交點
∴方程
即
有相等實根
∴
∴
∴橢圓的方程為
………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為
故
設不經過原點的直線
的方程
交橢圓
於
由
得
……………………………6分
∴
………………7分
直線
方程為
且
平分線段
∴
=
解得 
……………………………………………8分
∴
又∵點
到直線
的距離
∴
…………………………………………9分
設
由直線
與橢圓
相交於A，B兩點可得
求導可得
，此時
取得最大值
此時直線
的方程
……………………………………………12分
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
