設橢圓的離心率為，且橢圓過點.過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交於四點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若，探...
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問題詳情：
設橢圓
的離心率為
，且橢圓過點
.過點
作兩條相互垂直的直線
分別與橢圓
交於
四點.
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）若
，探究：直線
是否過定點？若是，請求出定點座標；若不是，請説明理由.
【回答】
試題解析：（Ⅰ）由題意知，
，解得
，
故橢圓
的方程為
.
（Ⅱ）∵
，
，∴
、
分別為
、
的中點.
當兩直線的斜率都存在且不為0時，設直線
的方程為
，
則直線
的方程為
，
，
，
，
，
聯立
，得
，∴
，
∴
，
，∴
中點
的座標為
；
同理，中點的座標為
，∴
，
∴直線
的方程為
，
即
，∴直線
過定點
；
當兩直線的斜率分別為0和不存在時，則直線的方程為
，也過點；
綜上所述，直線過定點
.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
