已知點,橢圓的離心率為,是橢圓的右焦點,直線的斜率為,為座標原點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設過點的動直線與橢...
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問題詳情:
已知點,橢圓的離心率為,是橢圓的右焦點,直線的斜率為,為座標原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設過點的動直線與橢圓相交於兩點.當△的面積最大時,求直線的方程.
【回答】
解: (1)設F(c,0),由條件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為+y2=1. …… 4分
(2)當l⊥x軸時不合題意,故設l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時,
|PQ|=|x1-x2|=.
點O到直線PQ的距離d=.
所以△OPQ的面積S△OPQ=d·|PQ|=.設=t,則t>0,S△OPQ==.
因為t+≥4,若且唯若t=2,即k=±時等號成立,且滿足Δ>0.
所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為y=x-2或y=-x-2. …… 12分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題