已知橢圓的焦點是，，且，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點的直線交橢圓於，兩點．（i）求的最小值...

問題詳情：

已知橢圓的焦點是，，且，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓右焦點的直線交橢圓於，兩點．

（i）求的最小值；

（ii）點是直線上異於的一點，且滿足，求*：點在一條定直線上．

【回答】

（1）；（2）（i）最小值是；（ii）*見解析．

【分析】

（1）根據題中條件，求出，，即可得出橢圓方程；

（2）（i）先由（1）知，先討論線的斜率不存在，求出；再討論直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理，以及兩點間距離公式，求出，進而可得出結果；

（ii）先由題意得，直線的斜率一定存在，所以設點的座標是，根據題中條件，得到，化簡整理，求出，即可*結論成立.

【詳解】

（1）因為橢圓的焦點是，，且，所以半焦距．

因為離心率為，所以，所以．

所以橢圓的方程是．

（2）（i）由（1）知，

當直線的斜率不存在時，不妨設，所以．

當直線的斜率存在時，直線的方程可設為．

聯立方程消去，整理得．

所以，．

所以，．

所以

，

因為，

所以的取值範圍是．

因為當直線的斜率不存在時，，

所以的最小值是．

（ii）*：由題意得，直線的斜率一定存在．因為點在直線上，所以設點的座標是．

因為，

所以點一定在的延長線上，

所以，

即．

所以．

化簡得．所以點的座標是．

因此點在定直線上．

【點睛】

本題主要考查求橢圓的方程，考查橢圓中的定值問題，熟記橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單*質即可，屬於常考題型.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題