設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點在橢圓上，且異於橢圓...
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問題詳情：
設橢圓
的左焦點為
，上頂點為
.已知橢圓的短軸長為4，離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設點
在橢圓上，且異於橢圓的上、下頂點，點
為直線
與
軸的交點，點
在
軸的負半軸上.若
（
為原點），且
，求直線
的斜率.
【回答】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
或
.
【分析】
(Ⅰ)由題意得到關於a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；
(Ⅱ)聯立直線方程與橢圓方程確定點P的座標，從而可得OP的斜率，然後利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最後利用直線垂直的充分必要條件得到關於斜率的方程，解方程可得直線的斜率.
【詳解】
(Ⅰ) 設橢圓的半焦距為
，依題意，
，又
，可得
，b=2，c=1.
所以，橢圓方程為
.
(Ⅱ)由題意，設
.設直線
的斜率為
，
又
，則直線
的方程為
，與橢圓方程聯立
，
整理得
，可得
，
代入
得
，
進而直線
的斜率
，
在
中，令
，得
.
由題意得
，所以直線
的斜率為
.
由
，得
，
化簡得
，從而
.
所以，直線
的斜率為
或
.
【點睛】
本題主要考查橢圓的標準方程和幾何*質､直線方程等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的*質.考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
