在直角座標系中，橢圓的中心在座標原點，其右焦點為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左、右頂點分...
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問題詳情：
在直角座標系
中， 橢圓
的中心在座標原點
，其右焦點為
，且點
在橢圓
上．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設橢圓的左、右頂點分別為
，
是橢圓上異於
的任意一點，直線
交橢圓
於另一點
，直線
交直線
於
點， 求*：
三點在同一條直線上
【回答】
【詳解】（1）（法一）設橢圓
的方程為
，
∵一個焦點座標為
，∴另一個焦點座標為
，
∴由橢圓定義可知
，
∴
，∴
，∴橢圓
的方程為
.
（法二）不妨設橢圓
的方程為
（
），
∵一個焦點座標為
，∴
，①
又∵點
在橢圓
上，∴
，②
聯立方程①，②，解得
，
，
∴橢圓
的方程為
.
（2）設
，
，直線
的方程為
，
由方程組
消去
，並整理得：
，
∵
，∴
，
，
∵直線
的方程可表示為
，
將此方程與直線
聯立，可求得點
的座標為
，
∴
，
∵
，所以
，
又向量
和
有公共點
，故
，
，
三點在同一條直線上.
【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關係的應用問題,解答此類題目，通常聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與係數的關係進行求解，此類問題易錯點是複雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等。
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
