已知在平面直角座標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,右頂點為,設點.(1)求該橢圓的標準方程;(2)若...
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問題詳情:
已知在平面直角座標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,右頂點為,設點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)若是橢圓上的動點,求線段中點的軌跡方程;
(3)過原點的直線交橢圓於點,求面積的最大值.
【回答】
(1);(2);(3).
【解析】試題分析:(1)由"左焦點為,右頂點為"得到橢圓的半長軸,半焦距,再求得半短軸最後由橢圓的焦點在軸上求得方程;(2)設線段的中點為,點的座標是,由中點座標公式,分別求得,代入橢圓方程,可求得線段中點的軌跡方程;(3)分直線垂直於軸時和直線不垂直於軸兩種情況分析,求得弦長,原點到直線的距離建立三角形面積模型,再用基本不等式求其最值.
試題解析:(1)橢圓的標準方程為.
(2)設線段的中點為,點的座標是,
由,得
點在橢圓上,得
∴線段中點的軌跡方程是.
(3)當直線垂直於軸時, ,因此的面積.
當直線不垂直於軸時,該直線方程為,代入,
解得, ,
則,又點到直線的距離,
∴的面積
於是
由,得,其中,當時,等號成立.
∴的最大值是.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題