如圖,橢圓:與圓:相切,並且橢圓上動點與圓上動點間距離最大值為.(1)求橢圓的方程;(2)過點作兩條互相垂直的...
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問題詳情:
如圖,橢圓:與圓:相切,並且橢圓上動點與圓上動點間距離最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線,,與交於兩點,與圓的另一交點為,求面積的最大值,並求取得最大值時直線的方程.
【回答】
【詳解】(1)橢圓E與圓O:x2+y2=1相切,知b2=1;
又橢圓E上動點與圓O上動點間距離最大值為,即橢圓中心O到橢圓最遠距離為,
得橢圓長半軸長,即;
所以橢圓E的方程:
(2)①當l1與x軸重合時,l2與圓相切,不合題意.
②當l1⊥x軸時,M(﹣1,0),l1:x=1,,此時.…(6分)
③當l1的斜率存在且不為0時,設l1:x=my+1,m≠0,則,
設A(x1,y1),B(x2,y2),由得,(2m2+3)y2+4my﹣1=0,
所以,
所以.
由得,,解得,
所以,
所以
, 因為,
所以,
若且唯若時取等號.所以()
綜上,△ABM面積的最大值為,此時直線l1的方程為.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題