如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內心，連AI並延長交BC和⊙O於D、E兩點.（1）求*：EB＝EI；（...
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問題詳情：
如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內心，連AI並延長交BC和⊙O於D、E兩點.
（1）求*：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的長.
【回答】
（1）見解析；（2）AI=2.
【解析】
分析：（1）連接IB，只需*∠IBE=∠BIE．根據三角形的外角的*質、三角形的內心是三角形的角平分線的交點,以及圓周角定理的推論即可*.
（2）由（1）可得△BDE∽△ABE，即：DE=
，再由同弦所對的圓周角相等可得：△ADC∽△ABE，即：AB·AC=AD·AE，列出等式求解即可.
詳解：（1）連BI.如圖，
∵I是△ABC的內心，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CBE，
∴∠BIE=∠ABI+∠BAE，∠IBE=∠CBI+∠CBE，
∴∠IBE=∠BIE，
∴EB＝EI.
（2）設AI=x，由（1）可知：∠BAE=∠CBE，且∠E=∠E.
∴△BDE∽△ABE,BE2=ED·EA，即： DE=
.
又∵∠E=∠C(同弦的圓周角相等)，∠BAE=∠CAE.
∴△ADC∽△ABE,AB·AC=AD·AE，
4×3=（x+2）（
）,
解得x=2，即AI=2.
點睛：本題考查了三角形的外角的*質、三角形的內心、圓周角定理、相似三角形.
知識點：與三角形有關的角
題型：解答題
