如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB於點C，連結AO並延長交⊙O於點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則sin∠EC...
來源：國語幫 2.2W
問題詳情：
如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB於點C，連結AO並延長交⊙O於點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則sin∠ECB為（ ）
A．
B．
C．
D．
【回答】
B【考點】垂徑定理；圓周角定理；鋭角三角函數的定義．
【分析】根據垂徑定理得到AC=BC=
AB=4，設AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根據勾股定理得到x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，則AE=10，OC=3，再由AE是直徑，根據圓周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位線得到BE=2OC=6，然後在Rt△CBE中利用勾股定理可計算出CE，由三角函數的定義求出sin∠ECB即可．
【解答】解：連結BE，如圖，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=
AB=
×8=4，
設AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x﹣2）2，
解得：x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位線，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=
=
=2
，
∴sin∠ECB=
=
=
．
故選：B．
【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理、圓周角定理、三角函數；由勾股定理求出半徑是解決問題的突破口．
知識點：圓的有關*質
題型：選擇題
