如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圓心O在△ABC內部)經過B、C兩點,交AB於點E,過...
問題詳情:
如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圓心O在△ABC內部)經過B、C兩點,交AB於點E,過點E作⊙O的切線交AC於點F.延長CO交AB於點G,作ED∥AC交CG於點D
(1)求*:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.
【回答】
【考點】MC:切線的*質;L7:平行四邊形的判定與*質;T7:解直角三角形.
【分析】(1)連接CE,根據等腰直角三角形的*質得到∠B=45°,根據切線的*質得到∠FEC=∠B=45°,∠FEO=90°,根據平行線的*質得到∠ECD=∠FEC=45°,得到∠EOC=90°,求得EF∥OD,於是得到結論;
(2)過G作GN⊥BC於N,得到△GMB是等腰直角三角形,得到MB=GM,根據平行四邊形的*質得到∠FCD=∠FED,根據餘角的*質得到∠CGM=∠ACD,等量代換得到∠CGM=∠DEF,根據三角函數的定義得到CM=2GM,於是得到結論.
【解答】解:(1)連接CE,
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠B=45°,
∵EF是⊙O的切線,
∴∠FEC=∠B=45°,∠FEO=90°,
∴∠CEO=45°,
∵DE∥CF,
∴∠ECD=∠FEC=45°,
∴∠EOC=90°,
∴EF∥OD,
∴四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)過G作GN⊥BC於N,
∴△GMB是等腰直角三角形,
∴MB=GM,
∵四邊形CDEF是平行四邊形,
∴∠FCD=∠FED,
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°,
∴∠CGM=∠ACD,
∴∠CGM=∠DEF,
∵tan∠DEF=2,
∴tan∠CGM==2,
∴CM=2GM,
∴CM+BM=2GM+GM=3,
∴GM=1,
∴BG=GM=.
【點評】本題考查了切線的*質,平行四邊形的判定和*質,等腰直角三角形的判定和*質,解直角三角形,正確的作出輔助線是解題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題