如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點E在BC邊上，且CA＝CE，過A，C，E三點的⊙O交AB於另一點F，作...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點E在BC邊上，且CA＝CE，過A，C，E三點的⊙O交AB於另一點F，作直徑AD，連結DE並延長交AB於點G，連結CD，CF．

（1）求*：四邊形DCFG是平行四邊形．

（2）當BE＝4，CD＝AB時，求⊙O的直徑長．

【回答】

【分析】（1）連接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直徑，根據圓周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，於是得到結論；

（2）設CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，於是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根據勾股定理得到AB＝＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根據勾股定理即可得到結論．

【解答】（1）*：連接AE，

∵∠BAC＝90°，

∴CF是⊙O的直徑，

∵AC＝EC，

∴CF⊥AE，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AED＝90°，

即GD⊥AE，

∴CF∥DG，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ACD+∠BAC＝180°，

∴AB∥CD，

∴四邊形DCFG是平行四邊形；

（2）解：由CD＝AB，

設CD＝3x，AB＝8x，

∴CD＝FG＝3x，

∵∠AOF＝∠COD，

∴AF＝CD＝3x，

∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，

∵GE∥CF，

∴，

∵BE＝4，

∴AC＝CE＝6，

∴BC＝6+4＝10，

∴AB＝＝8＝8x，

∴x＝1，

在Rt△ACF中，AF＝10，AC＝6，

∴CF＝＝3，

即⊙O的直徑長為3．

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，平行四邊形的判定和*質，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題