如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E、F在邊A...

問題詳情：

如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．

小明的作法

1．如圖②，在邊AC上取一點D，過點D作DG∥AB交BC於點G．

2．以點D為圓心，DG長為半徑畫弧，交AB於點E．

3．在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形．

（1）*小明所作的四邊形DEFG是菱形．

（2）小明進一步探索，發現可作出的菱形的個數隨着點D的位置變化而變化……請你繼續探索，直接寫出菱形的個數及對應的CD的長的取值範圍．

【回答】

【分析】（1）根據鄰邊相等的四邊形是菱形*即可．

（2）求出幾種特殊位置的CD的值判斷即可．

【解答】（1）*：∵DE＝DG，EF＝DE，

∴DG＝EF，

∵DG∥EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形，

∵DG＝DE，

∴四邊形DEFG是菱形．

（2）如圖1中，當四邊形DEFG是正方形時，設正方形的邊長為x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5，

則CD＝x，AD＝x，

∵AD+CD＝AC，

∴+x＝3，

∴x＝，

∴CD＝x＝，

觀察圖象可知：0≤CD＜時，菱形的個數為0．

如圖2中，當四邊形DAEG是菱形時，設菱形的邊長為m．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

解得m＝，

∴CD＝3﹣＝，

如圖3中，當四邊形DEBG是菱形時，設菱形的邊長為n．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

∴n＝，

∴CG＝4﹣＝，

∴CD＝＝，

觀察圖象可知：當0≤CD＜或＜CD≤時，菱形的個數為0，當CD＝或＜CD≤時，菱形的個數為1，當＜CD≤時，菱形的個數為2．

【點評】本題考查相似三角形的判定和*質，菱形的判定和*質，作圖﹣複雜作圖等知識，解題的關鍵是學會尋找特殊位置解決問題，屬於中考常考題型，題目有一定難度．

知識點：各地中考

題型：解答題