如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D為AB的中點,/EDF=90°,DE交AC於點G,...
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問題詳情:
如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D為AB的中點,/EDF=90°,DE交AC於點G,DF經過點C.
(1)求/ADE的度數;
(2)如圖2,將圖1中的∠EDF繞點D順時針方向旋轉角α(0°<α<60°),旋轉過程中的任意兩個位置分別記為∠E1DF1,∠E2DF2,DE1交直線AC於點P,DF1交直線BC於點Q,DE2交直線AC於點M,DF2交直線BC於點N,求的值;
(3)若圖1中∠B=β(60°<β<90°),(2)中的其餘條件不變,請直接寫出的值(用含β的式子表示).
【回答】
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,D為AB的中點,
∴CD=DB,
∴∠DCB=∠B.
∵∠B=60°,
∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°∴∠CDA=120°.
∵∠EDC=90°,
∴∠ADE=30°;
(2)∵∠C=90°,∠MDN=90°,
∴∠DMC+∠CND=180°.
∵∠DMC+∠PMD=180°,
∴∠CND=∠PMD.
同理∠CPD=∠DQN.
∴△PMD∽△QND.
過點D分別做DG⊥AC於G,DH⊥BC於H.
可知DG,DH分別為△PMD和△QND的高.
∴
∵DG⊥AC於G,DH⊥BC於H,
∴DG∥BC.
又∵D為AB中點,
∴G為AC中點.
∵∠C=90°,
∴四邊形CGDH 為矩形,有CG=DH=AG,
Rt△AGD中,.
即.
(3)=tan(90°﹣β)(=.
知識點:相似三角形
題型:解答題