如圖①，在Rt△ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，點E在AC上．點D在BC上，點F為AD的中...

問題詳情：

如圖①，在Rt△ ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，點E在AC上．點D在BC上，點F為AD的中點，連接BF、EF.

觀察與發現：

(1)線段BF和EF的數量關係是__ __．

拓廣與探索：

(2)如圖②，把圖①中的△CED繞着點C順時針旋轉，使點E落在邊BC的延長線上，點F為AD的中點，則(1)中發現的結論是否成立？若成立．請給予*；若不成立．請説明理由．

(3)如圖③，把圖①中的△CED繞着點C順時針旋轉，使點D落在邊AC上，點F為AD的中點，則(1)中發現的結論是否還成立？若成立．請給予*；若不成立．請説明理由．

(導學號　02052559)

【回答】

解：BF＝EF

 (2)結論BF＝EF成立．

*：如圖①，過點F作FG⊥BE於點G，∴∠FGB＝90°，

圖①

∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＋∠FGB＝180°，∴FG∥AB.又∵∠CED＝90°，∴∠CED＝∠BGF.∴FG∥DE.∴AB∥FG∥DE.∴＝.∵點F是AD的中點，∴AF＝FD.∴BG＝BE.又∵FG⊥BE，∴BF＝EF；

(3)結論BF＝EF成立．*：如圖②，過點F作FM⊥BC於點M，過點D作DN⊥BC於點N，連接FN.∴∠FMC＝∠DNC＝90°.

圖②

∵△CDE繞着點C順時針旋轉，使點D落在邊AC上，∴∠DCN＝∠DCE.在△CDN和△CDE中，，

∴△CDN≌△CDE(AAS)．∴CN＝CE.在△FNC和△FEC中，，∴△FNC≌△FEC(SAS)．∴FN＝EF.∵∠ABC＝90°，∠FMN＝∠DNC＝9.∴AB∥FM∥DN.由(2)推理可知BF＝FN.∴BF＝EF.

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題