如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交B...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC於點E．

（1）求*：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=10，CD=8，求CE的長．

【回答】

【考點】切線的判定；圓周角定理．

【分析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，再根據等腰三角形的*質得出一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直角，即可得*；

（2）過O作OG垂直於BE，可得出四邊形ODCG為矩形，利用勾股定理求出BG的長，由垂徑定理可得BE=2BG，中由切割線定理求出CE的長即可．

【解答】（1）*：連接OD，如圖，

∵BD為∠ABC平分線，

∴∠1=∠2，

∵OB=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ODA=90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：過O作OG⊥BC，連接OE，

則四邊形ODCG為矩形，

∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，

∵OG⊥BE，OB=OE，

∴BE=2BG=12．

解得：BE=12，

∵AC是⊙O的切線，

∴CD2=CE•CB，

即82=CE（CE+12），

解得：CE=4或CE=﹣16（捨去），

即CE的長為4．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題