如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC於點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC於點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB於點E，F．

（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關係，並説明理由；

（2）若BD=2，BF=2，求*影部分的面積（結果保留π）．

【回答】

（1）直線BC與⊙O相切，*見解析；（2）

【分析】

（1）連接OD，*OD∥AC，即可*得∠ODB=90°，從而*得BC是圓的切線；

（2）在直角三角形OBD中，設OF=OD=x，利用勾股定理列出關於x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出*影部分面積．

【詳解】

解：（1）BC與⊙O相切．理由如下：

連接OD．∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD．

∵OD=OA

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．

又∵BC過半徑OD的外端點D，∴BC與⊙O相切；

（2）設OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2．

根據勾股定理得：，

即，

解得：x=2，即OD=OF=2

∴OB=2+2=4．

Rt△ODB中

∵OD=OB

∴∠B=30°

∴∠DOB=60°

∴S扇形DOF==

則*影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF==．

故*影部分的面積為．

知識點：勾股定理

題型：解答題