如圖11，⊙O是△ABC的內切圓．（1）若∠A＝60°，連接BO、CO並延長，分別交AC、AB於點D、E，①求...

問題詳情：

如圖11，⊙O是△ABC的內切圓．

（1）若∠A＝60°，連接BO、CO並延長，分別交AC、AB於點D、E，

① 求∠BOC的度數；

② 試探究BE、CD、BC之間的等量關係，並*你的結論；

（2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB與⊙O相切於點D、E，將BC向上平移與⊙O交於點F、G，若以D、E、F、G為頂點的四邊形是矩形，求平移的距離．

【回答】

解：（1）①∵∠A＝60°

∴∠ABC＋∠ACB＝120°…………1分

∵⊙O是△ABC的內切圓

∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB

∴∠DBC＋∠ECB＝60°…………2分

∴∠BOC＝120°…………3分

②BC= BE＋CD…………4分

解法1：作∠BOC的平分線OF交BC於點F，

∵∠BOC＝120°

∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60°

在△BOE與 △BOF中

∴ △BOE≌△BOF（ASA）

∴ BE=BF …………6分

同理可*：CD=CF …………8分

∴ BC= BE＋CD

解法2：在BC上截取BF=BE，

可* △BOE≌△BOF（SAS）…………5分

∴∠BOE＝∠BOF

∵∠BOC＝120°      ∴∠BOE＝∠COD ＝∠COF＝60°

可*：△COD≌△COF（ASA）…………7分

∴ CD=CF …………8分

∴ BC= BE＋CD

（2）如圖，連接AO並延長，交BC於點N，交ED於點M

∵⊙O是△ABC的內切圓   ∴ AO是∠BAC的平分線，

又 AB＝AC，  ∴ AN⊥BC

∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝     ∴ AN＝8，BN＝6 …………9分

由切線長定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4，

∵點D、E是⊙O的切點，連接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN，

∴△AOE∽△ABN    ∴ ，    即

解得…………10分

∴

∵，∠BAC=∠BAC

∴△AED∽△ABC

∴ ，………12分

以D、E、F、G為頂點的四邊形是矩形

∴∠DEF＝90°

∴ 是⊙O 的直徑…………13分

∴

∴平移的距離是…………14分

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題