已知函數，，當時，與的圖象在處的切線相同.（1）求的值；（2）令，若存在零點，求實數的取值範圍.
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問題詳情：
已知函數
，
，當
時，
與
的圖象在
處的切線相同.
（1）求
的值；
（2）令
，若
存在零點，求實數
的取值範圍.
【回答】
（1）4（2）
試題分析：（1）根據導數幾何意義得
，分別求導得
，
，即得
（2）研究函數零點問題，一般利用變量分離法轉化為對應函數值域問題：即求函數
的值域，先求函數導數
，再研究導函數零點，設
，則
，而
，所以
在
上為減函數，在
上為增函數，
.
試題解析：(1)當
時，
，則
，又
，所以
在
處的切線方程為
，又因為
和
的圖像在
處的切線相同，
所以
.（4分）
(2)因為
有零點
所以
即
有實根.
令
令
則
恆成立，而
，
所以當
時，
，當
時，
.
所以當
時，
，當
時，
.
故
在
上為減函數，在
上為增函數，即
.
當
時，
，當
時，
.
根據函數的大致圖像可知
.（12分）
考點：導數幾何意義，利用導數求函數值域
【思路點睛】已知函數有零點求參數取值範圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據題設條件構建關於參數的不等式，再通過解不等式確定參數範圍；
(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；
(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角座標系中，畫出函數的圖象，然後數形結合求解．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
