已知函數在處取得極值.(1)求函數的單調區間;(2)若函數在上恰有兩個不同的零點,求實數的取值範圍.
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問題詳情:
已知函數在處取得極值.
(1)求函數的單調區間;
(2)若函數在上恰有兩個不同的零點,求實數的取值範圍.
【回答】
(1)f'(x)=ex+xex+2ax+2,
∵f(x)在處取得極值, ∴f'(-1)=0,解得a=1.經檢驗a=1適合,
∴f(x)=xex+x2+2x+1,f'(x)=(x+1)(ex+2),
當x∈(-∞,-1)時,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)遞減;
當x∈(-1+∞)時,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)遞增.
(2)函數y=f(x)-m-1在[-2,2]上恰有兩個不同的零點,
等價於xex+x2+2x-m=0在[-2,2]上恰有兩個不同的實根,
等價於xex+x2+2x=m在[-2,2]上恰有兩個不同的實根.
令g(x)=xex+x2+2x,∴g'(x)=(x+1)(ex+2),
由(1)知g(x)在(-∞,-1)遞減; 在(-1,+∞)遞增.
g(x)在[-2,2]上的極小值也是最小值; . 又,g(2)=8+2e2>g(-2), ∴,即.
知識點:導數及其應用
題型:解答題