已知函數(,是自然對數的底數).(1)若函數在區間上是單調減函數,求實數的取值範圍;(2)求函數的極值;(3)...
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問題詳情:
已知函數(,是自然對數的底數).
(1)若函數在區間上是單調減函數,求實數的取值範圍;
(2)求函數的極值;
(3)設函數圖象上任意一點處的切線為,求在軸上的截距的取值範圍.
【回答】
1)函數的導函數,
則在區間上恆成立,且等號不恆成立,
又,所以在區間上恆成立, 記,
只需,即,解得. (2)由,得 , ①當時,有;,
所以函數在單調遞增,單調遞減,
所以函數在取得極大值,沒有極小值. ②當時,有;,
所以函數在單調遞減,單調遞增,
所以函數在取得極小值,沒有極大值. 綜上可知: 當時,函數在取得極大值,沒有極小值;
當時,函數在取得極小值,沒有極大值.
(3)設切點為,
則曲線在點處的切線方程為,
當時,切線的方程為,其在軸上的截距不存在 當時,令,得切線在軸上的截距為
, 當時,
,
若且唯若,即或時取等號;
當時,
,
若且唯若,即或時取等號.
所以切線在軸上的截距範圍是.
知識點:導數及其應用
題型:解答題