設函數.(1)若a=0時,求函數的單調遞增區間;(2)若函數在x=1時取極大值,求實數a的取值範圍;(3)設函...
問題詳情:
設函數.
(1)若a=0時,求函數的單調遞增區間;
(2)若函數在x=1時取極大值,求實數a的取值範圍;
(3)設函數的零點個數為m,試求m的最大值.
【回答】
(1)單調增區間為(1,+¥)(2)(3)2
【分析】
(1)求導得到函數的單調增區間.
(2)求導,討論,,或,幾種情況,分別計算函數極值得到*.
(3)考慮,兩種情況,求導得到單調區間,計算極值判斷零點個數,得到*.
【詳解】
(1)當a=0時,,所以,由得x=1,
當xÎ(0,1)時,<0;當xÎ(1,+¥)時,>0,
所以函數的單調增區間為(1,+¥).
(2)由題意得,
令(x>0),則,
當≥0即時,>0恆成立,
故在(0,1)上遞減,在(1,+¥)上遞增,所以x=1是函數的極小值點,不滿足;
當即時,此時>0恆成立,
在(0,1)上遞減,在(1,+¥)上遞增,所以x=1是函數的極小值點,不滿足;
當即或時,
在(0,1)上遞減,在(1,+¥)上遞增,所以x=1是函數的極小值點,不滿足;
當時,解得或(舍),
當時,設的兩個零點為,,所以=1,不妨設0<<,
又,所以0<<1<,故,
當xÎ(0,)時,<0;當xÎ(,1)時,>0;當xÎ(1,)時,<0;當xÎ(,+¥)時,>0;
∴在(0,)上遞減,在(,1)上遞增,在(1,)上遞減,在(,+¥)上遞增;
所以x=1是函數極大值點,滿足.
綜上所述:.
(3)①由(2)知當時,函數在(0,1)上單調遞減,在(1,+¥)上單調遞增,故函數至多有兩個零點,欲使有兩個零點,需,得,
;
,,
故滿足函數有2個零點.
②當時,由(2)知在(0,)上遞減,在(,1)上遞增,在(1,)上遞減,在(,+¥)上遞增;
而0<<1,所以,
此時函數也至多有兩個零點
綜上①②所述,函數的零點個數m的最大值為2.
【點睛】
本題考查了函數的單調區間,根據極值求參數,零點個數問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.
知識點:導數及其應用
題型:解答題