已知函數，.（1）若在區間上不是單調函數，求實數的範圍；（2）若對任意，都有恆成立，求實數的取值範圍；（3）當...

問題詳情：

已知函數，.

（1）若在區間上不是單調函數，求實數的範圍；

（2）若對任意，都有恆成立，求實數的取值範圍；

（3）當時，設，對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，，使得是以（為座標原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在軸上？請説明理由.

【回答】

試題解析：解：（1）由

得，因在區間上不上單調函數

所以在上最大值大於0，最小值小於0

，

由，得

，且等號不能同時取，，即

恆成立，即

令，求導得

當時，，從而

在上是增函數，

由條件，

假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側

不妨設，則，且

是以為直角頂點的直角三角形，

是否存在等價於方程在且是否有解

①當時，方程為，化簡，此方程無解；

②當時，方程為，即

設，則

顯然，當時，，即在上為增函數

的值域為，即，當時，方程總有解

對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以（為座標原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在軸上

知識點：導數及其應用

題型：解答題