已知函數.(1)若函數在R上是增函數,求實數a的取值範圍;(2)求所有的實數a,使得對任意時,函數的圖象恆在函...
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問題詳情:
已知函數.
(1)若函數在R上是增函數,求實數a的取值範圍;
(2)求所有的實數a,使得對任意時,函數的圖象恆在函數圖象的下方;
(3)若存在,使得關於x的方程有三個不相等的實數根,求實數t的取值範圍.
【回答】
(1)(2)(3)
【解析】
(1)將函數寫成分段函數的*質,根據分段函數在上是單調增函數,即可求得參數的範圍;
(2)根據題意,分離參數,將問題轉化求解函數在區間上最值的問題,即可求得;
(3)將方程根的個數的問題,轉化為函數圖像交點個數的問題,求出函數的值域,結合函數的單調*即可求得.
【詳解】(1)∵函數.
由於在R上是連續的增函數,
所以只要當時為增函數且當時也為增函數;
即,解得,則a的範圍為.
(2)由題意得對任意的實數,恆成立,
即,當恆成立,
即,
∴,
∴,
故且在上恆成立,
即在時,只要的最大值且的最小值即可,
而當時,為增函數,;
當時,增函數,,
∴.
所以滿足條件的所有.
(3)由題意得,關於x的方程有三個不相等的實數根
有三個不相等的實數根;
即與有三個不同的交點;
①當時,由(1)知,在R上是增函數,
則關於x的方程不可能有三個不等的實數根;
②當時,由.
當時,∵,
∴對稱軸,
則在為增函數;
此時的值域為,
當時,對稱軸,
∵,∴,
∴對稱軸,
則在為增函數,此時的值域為,
在為減函數,此時的值域為;
綜上所述,若存在,使與有三個不同的交點,
則,
即存在,使得即可,
令,
只要使即可,而在上是增函數,
.
故可得.
【點睛】本題考查由分段函數在上的單調*求參數的範圍,以及由恆成立問題求參數的範圍,涉及由方程根的個數,求參數的範圍,屬綜合*中檔題.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題