已知函數(Ⅰ)若函數存在最小值,且最小值大於,求實數的取值範圍;(Ⅱ)若存在實數,使得,求*:函數在區間上單調...
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問題詳情:
已知函數
(Ⅰ)若函數存在最小值,且最小值大於,求實數的取值範圍;
(Ⅱ)若存在實數,使得,求*:函數在區間上單調遞增。
【回答】
(Ⅰ)f′(x),
①a≤0時,f′(x)>0在(0,+∞)恆成立,
∴f(x)在(0,+∞)遞增,故無最小值;
②a>0時,由f′(x)>0,解得:x>a,
由f′(x)<0,解得:0<x<a,
故f(x)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增,
此時f(x)有最小值,且f(x)min=a(1﹣a﹣lna),
令g(a)=1﹣a﹣lna(a>0),
則g(a)在(0,+∞)遞減,又g(1)=0,
∴0<a<1時,g(a)>0,此時f(x)min>0,
a≥1時,g(a)≤0,此時f(x)min≤0,
故a的範圍是(0,1);
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,要存在實數x1,x2,使得f(x1)=f(x2),則a>0,
∵f(x)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增,
不妨設0<x1<x2,則0<x1<a,
令h(x)=f(x)﹣f(2a﹣x),x∈(0,a),
則h′(x),
∴x∈(0,a)時,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,a)遞減,
∵x1∈(0,a),∴h(x1)>h(a)=f(a)﹣f(a)=0,
即f(x1)﹣f(2a﹣x1)>0,
∴f(x1)>f(2a﹣x1),
∵f(x1)=f(x2),
∴f(x2)>f(2a﹣x1),
∵0<x1<a,∴2a﹣x1>a,
∵f(x)在(a,+∞)遞增,
∴x2>2a﹣x1,∴a,
∴函數f(x)在區間[,+∞)遞增,
∵x1≠x2,∴,
∴函數f(x)在區間[,+∞)上單調遞增.
知識點:導數及其應用
題型:綜合題