如圖，是的直徑，半徑，垂足為O，直線l為的切線，A是切點，D是上一點，的延長線交直線l於點是上一點，的延長線交...

問題詳情：

如圖，是的直徑，半徑，垂足為O，直線l為的切線，A是切點，D是上一點，的延長線交直線l於點是上一點，的延長線交於點G，連接，已知的半徑為3，，．

（1）求的長；

（2）求的值及的長．

【回答】

（1）AE=2；（2）CG=，cos∠CAG=

【解析】

(1)過點E作EH⊥OC，交OC的延長線於點H，*四邊形AOHE是矩形得到EH=OA=3，求得，即可得到AE；

(2)先*△ADE∽△OCD求得AD=1.2，OD=1.8，根據求得BF=2，CF=，連接BG，*△AFC∽△GFB，得到，求得，即可得到CG=CF+GF=，設CO延長線交於點N，連接GN，則∠CNG=∠CAG，在Rt△CGN中，求得NG=，即可得到cos∠CAG=cos∠CNG=.

【詳解】

(1)過點E作EH⊥OC，交OC的延長線於點H，

∵直線l為的切線，A是切點，

∴OA⊥AE，

∵OC⊥AB，

∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，

∴四邊形AOHE是矩形，

∴EH=OA=3，AE=OH，

∵,

∴,

∴AE=OH=CH-OC=2；

(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，

∴OC∥AE，

∴△ADE∽△OCD，

∴，

∴AD=1.2，OD=1.8，

∵，

∴BF=2，

∴OF=1，

∴AF=4，CF=，

連接BG，

∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，

∴△AFC∽△GFB，

∴，

∴，

∴，

∴CG=CF+GF=，

設CO延長線交於點N，連接GN，則∠CNG=∠CAG，

在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG=,

∴NG=，

∴cos∠CAG=cos∠CNG=.

【點睛】

此題考查矩形的判定定理及*質定理，勾股定理，圓切線的*質定理，圓周角定理，相似三角形的判定及*質，鋭角三角函數解直角三角形，熟記各定理並熟練運用解題，正確連接輔助線是解此題的關鍵.

知識點：相似三角形

題型：綜合題