如圖，已知直線與x、y軸交於A、B兩點，的半徑為1，P為上一動點，切於Q點．當線段長取最小值時，直線交y軸於M...
來源：國語幫 2.33W
問題詳情：
如圖，已知直線
與x、y軸交於A、B兩點，
的半徑為1，P為
上一動點，
切
於Q點．當線段
長取最小值時，直線
交y軸於M點，a為過點M的一條直線，則點P到直線a的距離的最大值為______________．
【回答】
【解析】
先找到
長取最小值時P的位置即為OP⊥AB時，然後畫出圖形，由於PM即為P到直線a的距離的最大值，求出PM長即可．
【詳解】
解：如圖，
在直線
上，x=0時，y=4，y=0時，x=
，
∴OB=4，OA=
，
∴
，
∴∠OBA=30°，
由
切
於Q點，可知OQ⊥PQ，
∴
，
由於OQ=1，因此當OP最小時
長取最小值，此時OP⊥AB，
∴
，此時
，
，
∴
，即∠OPQ=30°，
若使P到直線a的距離最大，則最大值為PM，且M位於x軸下方，
過P作PE⊥y軸於E，
，
，
∴
，
∵
，∴∠OPE=30°，
∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，
∴
，
故*為：
．
【點睛】
本題考查了圓和函數的綜合問題，題解題中含義找到Ｐ點的位置是解題的關鍵．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：填空題
